Los Números Irracionales

 ¡Bienvenidos a Este Blog! Aquí estaremos conociendo a este nuevo conjunto numérico, con definiciones, ejemplos y ejercicios.

En la primaria, conocimos los números con los que podemos contar; los Números Naturales. Pero aparecía una operación que no se podía resolver; una resta en la que el primer número (minuendo) es menor que el segundo (sustraendo); por ejemplo, 3 - 5. 

En los primeros años de la secundaria, vimos que esa operación tiene solución, pero para resolverla debemos ampliar el conjunto numérico para incluir a los negativos; tenemos así el conjunto de los Números Enteros. Pero aquí aparece otra operación sin solución; la división entre dos números que no son múltiplos entre sí. Por ejemplo, 3 : 5 no se puede resolver en los Enteros, ya que el resultado no es entero. 

Aparece entonces otro conjunto numérico; los Números Racionales. Estos números pueden expresarse como una fracción, es decir, dejar expresado el número como el cociente entre dos enteros (3/5), o resolver la división y expresarla como un número decimal, es decir, 0,4. Para cada fracción existe una expresión decimal, que puede ser exacta (una cantidad finita de números después de la coma) o periódica (infinitas cifras que se repiten después de la coma). Recíprocamente, para cada número con una cantidad finita de  cifras después de la coma o con cifras infinitas que se repiten, existe siempre una representación como fracción. 

Pero (oh, rayos!!) aparece otra operación que no se puede resolver en este conjunto; por ejemplo, la raíz cuadrada de 2, o de 3, no puede resolverse en este campo porque arroja infinitas cifras después de la coma, y esas cifras no son periódicas, es decir, no se repiten ni tienen ninguna regularidad.

Si usamos una calculadora para resolver √2, nos mostrará 1,414213562..., pero esas son sólo las primeras cifras de las infinitas que tiene, es decir, es sólo una aproximación a su valor real. A estos número, que tienen infinitas cifras que no se repiten, tampoco podemos expresarlo como una fracción, es decir, como la razón entre dos números enteros. Se llaman Números Irracionales. 

Los Racionales contenían también a los Enteros, y los Enteros contenían a los Naturales, es decir, un número natural también es entero y también es racional; pero los números Irracionales no contienen a los Racionales. Son dos conjuntos complementarios, y la unión de ambos forma el conjunto de los Números Reales. Es decir, un número real puede ser Racional o Irracional, pero no las dos cosas.

Los números Irracionales junto a los Racionales completan la Recta Real; es decir, no existen "huecos" en la recta. No existe un solo lugar vacío, en cualquier punto de ella encontramos un número. Se dice entonces que ;

- El conjunto de los Reales es DENSO. Esto significa que entre dos números cualquiera (no importa qué tan cerca estén) siempre encontraremos infinitos números reales

- El conjunto de los Reales es COMPLETO. Esto significa que absolutamente cada espacio de la recta real está ocupado por un número, ya sea racional o irracional.

Los números irracionales pueden ser generados por raíces que no tienen soluciones exactas (como √2, √3, √7, y también raíces cúbicas o con cualquier otro índice), o también, generarse de forma aleatoria, es decir, escribiendo infinitos números al azar después de la coma. 

También existen números irracionales destacados que se utilizan mucho en distintas áreas de trabajo, llamados irracionales trascendentes. Por ejemplo; 

- π; el número Pi, cuyo valor se aproxima a 3,141592...

- e; Constante de Neper o número de Euler, cuyas primeras cifras son 2.718281828459045235360…

- φ; el número de oro o Phi; 1,618033988749894...